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Métodos Cuantitativospara la Toma de DecisionesDaniel Serra de La FigueraOctubre 2002

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PrólogoEste libro se refiere al uso de modelos cuantitativos en la resolución de problemas de gestión yadministración de sistemas complejos, con especial énfasis en la toma de decisiones. Ha sidoescrito para dos tipos de usuarios: el administrador general o administrador en potencia, quepuede sacar provecho de su uso en la comprensión y aplicación de los modelos cuantitativospara la toma de decisiones; o para estudiantes de estudios en donde la toma de decisiones juegaun papel fundamental, como son los de gestión y administración y economía entre otros.El libro no pretende ser exhaustivo en cuanto a las técnicas existentes, ya que existe un sinfín deexcelentes manuales de técnicas cuantitativas y de investigación operativa (algunos de ellos secitan al final del libro). La gran diferencia entre este libro y los manuales clásicos radica en queel nivel de complejidad matemática se mantiene al mínimo nivel posible, y se hace especialénfasis en el planteamiento de modelos y en explicar como algunas de las técnicas existentespueden ayudar a solucionar problemas que aparecen en cualquier organización. Por ello, parasu lectura no se necesita una formación matemática previa; incluso se puede decir que en todo ellibro no se utilizan mas que las cuatro operaciones aritméticas básicas: sumar, restar, multiplicary dividir.También se incluye la posibilidad de obtener todos los problemas resueltos así como unaexplicación de cómo resolver cualquier formulación presentada en este libro con la popular hojade cálculo Microsoft Excel 97 en la dirección electrónica siguiente:http://www.econ.upf.es/ serra/libro.htmSobre el autor.Daniel Serra de La Figuera es licenciado en Ciencias Económicas y Empresariales por laUniversidad Autónoma de Barcelona, Master en Análisis de sistemas para la toma de decisionesy Doctor (Phd) por la Universidad Johns Hopkins de EEUU. Actualmente es Catedrático deUniversidad de Organización de Empresas del departamento de Economía y Empresa en laUniversidad Pompeu Fabra. Ha realizado diversos trabajos para el sector público y para elsector privado en el campo de la toma de decisiones y logística, tanto dentro del ámbitosanitario como el de transporte y distribución. Ha publicado varios artículos en prestigiosasrevistas científicas internacionales e imparte clases en diversos masters y cursos de postgradorelacionados con la gestión y administración. Actualmente es director del Instituto de EstudiosTerritoriales de la Universidad Pompeu Fabra, investigador del Centre de Recerca en Economiai Salud y vicerrector de Economía, Promoción y Servicios de la misma universidad.AgradecimientosEste libro ha recibido el apoyo de la Fundación Banco Bilbao Vizcaya y del Centre de Recercaen Economia i Salud (CRES) de la Universidad Pompeu Fabra. EL autor también agradece alas profesoras Rosa Colomé Perales y Helena Ramalhinho Lourenço por su ayuda yaportaciones al texto.Prohibida su reproducción sin el consentimiento del autor. Para entrar en contacto, enviar unmensaje a: [email protected]

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Tabla de Contenidos1Programación Lineal I: Formulación de Problemas 91.1Introducción 91.2Orígenes de la Programación Lineal 101.3Formulación de Modelos1.3.1 Un Problema de asignación de personal1.3.2 Un problema de asignación de recursos1.3.3 Un problema de transporte1.3.4 Un problema de Programación Financiera12121315171.4Tres ejemplos de Aplicación de la Investigación Operativa en el ÁmbitoSanitario 191.4.1 Planificación y asignación de recursos en un sistema de salud mental 191.4.2 Programación de Servicios de Salud a Domicilio 201.4.3 Fabricación de Válvulas Cardiacas 211.52Problemas 23Programación Lineal II: Métodos de Resolución 292.1El método gráfico 292.2El Método Simplex 322.3Adaptación a otro tipo de modelos2.3.1 Restricciones con igualdad2.3.2 Restricciones con dirección .2.3.3 Minimización2.3.4 Variables no acotadas344444546472.4Situaciones especiales en el método Simplex 472.5Soluciones con Ordenador 482.6Ejercicios 54Programación Lineal Entera 593.1Introducción 593.2El algoritmo de bifurcación y acotamiento 593.3Programación Entera y Solver 623.4Programación Entera Binaria I: El Problema de la Mochila 633.5El Problema de Asignación 653.6Problemas de Localización de Servicios3.6.1 Modelos de Cobertura3.6.2 Modelo de Localización P-Mediano3.6.3 El Problema de Localización de Plantas con Capacidad567687274

43.7Conclusiones 753.8Problemas 773.9Anexo: Datos de la red de 20 nodos 79Programación Multiobjetivo 814.1Introducción 814.2Espacio de Decisiones y Espacio de Objetivos 814.3Métodos de Resolución4.3.1 El Método de la restricción4.3.2 El Método de los Pesos4.3.3 Extensiones de la programación multiobjetivo.4.4584848789Problemas 90Gestión de Colas 935.1Descripción de un sistema de colas 935.2Objetivos de la gestión de colas 955.3Medidas del sistema 965.4Un sistema de colas elemental: tasa de llegada y de servicio constantes5.4.1 No hay cola, tiempo ocioso del servidor5.4.2 No hay cola ni tiempo ocioso del servidor.5.4.3 Formación de cola y sin tiempo ocioso en el servidor969696975.5Las distribuciones de Poisson y Exponencial 975.5.1 La distribución de Poisson 975.5.2 La distribución Exponencial 985.6Modelo de colas simple: Llegadas en Poisson y tiempos de servicioexponencialmente distribuidos. 995.7Modelo múltiple de colas: Llegadas en Poisson y tiempos de servicioexponencialmente distribuidos. 1025.8Limitaciones de los modelos de gestión de colas 1045.9Ejemplo de simulación de un sistema de colas.5.9.1 Recogida de datos5.9.2 Simulación de llegadas.5.9.3 Simulación de los tiempos de servicio5.9.4 Simulación conjunta del sistema5.106104104105106107Problemas 111Gestión y Administración de Proyectos (PERT/CPM) 1136.1Definición de la Gestión y Administración de Proyectos 1136.2Representación gráfica de un Proyecto 1156.3Planificación Temporal del Proyectos (CPM) 1206.3.1 Primera fase: análisis temporal de los sucesos 1206

6.3.2 Segunda fase: análisis temporal de las actividades 1226.3.3 Tercera fase: análisis más detallado de los márgenes 1236.4El Gráfico Gantt 1246.5El PERT 1256.5.1 Ejemplo de PERT 12676.6Planificación de Recursos: Tiempo-Coste 1286.7Conclusiones 1296.8Problemas 131Bibliografía 1357

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1 Programación Lineal I: Formulación deProblemas1.1 IntroducciónEl desarrollo de la investigación operativa, según muchos autores, ha representado uno de losavances científicos más importantes desde mediados del siglo XX. Actualmente es unaherramienta utilizada en muchos campos de la administración, de la economía y de la ingeniería.Existen muchos libros de texto sobre el tema y miles de artículos científicos en revistasespecializadas.La investigación operativa tiene como base el método científico para investigar y ayudar atomar decisiones sobre los problemas complejos de las organizaciones de hoy en día.Básicamente la investigación operativa sigue los pasos siguientes: (1) la observación de unproblema, (2) la construcción de un modelo matemático que contenga los elementos esencialesdel problema, (3) la obtención, en general con la utilización de un ordenador, de las mejoressoluciones posibles con la ayuda de algoritmos exactos o heurísticos y finalmente (5), lacalibración y la interpretación de la solución y su comparación con otros métodos de toma dedecisiones.Un ejemplo simple, el problema de la asignación, nos puede servir para ilustrar la dificultadesencial de la investigación operativa. Un hospital tiene 70 trabajadores con calificacionesdiferentes (médicos, enfermeros, ATS, personal de administración, etc.) que hemos de asignar a70 actividades también diferentes. Si pudiéramos determinar un valor que reflejase laasignación de un trabajador a una tarea determinada, tendríamos que escoger una entre 70!formas posibles de permutación de las asignaciones que maximice el valor total. Cómo que 70!es aproximadamente igual a 10100, necesitaríamos un ordenador que ejecutase 1.000.000 deoperaciones por segundo durante aproximadamente 1087 años (muchas veces la vida proyectadadel universo) para examinar todas las permutaciones. Problemas de decisión como éste sonmuy comunes y se tienen que desarrollar modelos de programación matemática, métodosmatemáticos para obtener soluciones a los modelos, y algoritmos de ordenador (procedimientospaso a paso) muy eficientes. Se dice que la investigación operativa constituye el 25% deltiempo total utilizado por los ordenadores para resolver problemas científicos.La investigación operativa ha tenido un impacto impresionante en la mejora de la eficiencia denumerosas organizaciones en todo el mundo. Existen inúmeras aplicaciones con éxito en todoslos campos en donde la toma de decisiones es compleja y que pueden implicar para laorganización grandes inversiones o cambios en la organización que determinen su futuro.La programación lineal es la herramienta básica más utilizada dentro de la investigaciónoperativa, debido tanto a su inmenso abanico de aplicaciones como a su simplicidad deimplementación. Efectivamente, el desarrollo de la programación lineal, según muchos autores,ha representado uno de los avances científicos más importantes desde mediados del siglo XX.Actualmente es una herramienta utilizada en muchos campos de la administración, de laeconomía y de la ingeniería. Existen muchos libros de texto sobre el tema y miles de artículoscientíficos en revistas especializadas.9

La programación lineal es un caso especial de la programación matemática, en donde todas lasfunciones que hay en el modelo son lineales: siempre tenemos una función objetivo lineal aoptimizar (maximizar o minimizar), sujeta a restricciones lineales individuales. Las variablesdel modelo, que son continuas, únicamente pueden coger valores no negativos. Si bien puedeparecer que estos supuestos quitan realismo al problema porque el modelador está limitado aluso de ecuaciones que quizás no son frecuentes en el mundo real, las técnicas de programaciónlineal se utilizan en un amplísimo espectro de problemas como, entre otros, de planificación ygestión de recursos humanos y materiales, de transporte, de planificación financiera y deorganización de la producción. En definitiva, una extensa gama de problemas que aparecen enlas áreas de tipo industrial, económico, administrativo, militar.El término programación tiene su origen en la planificación de las actividades que se realizanen una organización tal como una fábrica, un hospital, una compañía aérea o un organismopúblico, en dónde hay un objetivo a optimizar (maximización de beneficios, minimización decostes, maximización de la cobertura sanitaria, etc.). No tenemos que confundir este términocon la “programación” en referencia a la preparación de una serie de ordenes e instrucciones deun lenguaje informático en un ordenador.1.2 Orígenes de la Programación LinealLa programación lineal, si bien actualmente se utiliza frecuentemente para resolver problemasde decisión, era casi desconocida antes de 1947. Ninguna investigación significativa fuerealizada antes de esta fecha, si bien hay que mencionar que, alrededor de 1823, el matemáticofrancés Jean Baptiste Joseph Fourier parecía conocer el potencial del tema.Un matemático ruso, Leonid Vitalievitx Kantorovitx, que publicó una extensa monografía en1939, Matematitxeskie Metodi Organisatsi i Planirovaniia Proisvodstva (Métodos matemáticospara la organización y planificación de la producción) fue el primer investigador en reconocerque una amplia gama de problemas de producción y distribución tenían una estructuramatemática y, que por lo tanto, se puedan formular con un modelo matemático.Desgraciadamente sus propuestas fueron desconocidas tanto en Unión Soviética como en eloccidente durante dos décadas. Durante este periodo, la programación lineal experimentó ungran desarrollo tanto en Estados Unidos como en Europa. Después de la segunda guerramundial, funcionarios del gobierno americano consideraron que la coordinación de las energíasde toda una nación debido al peligro de una guerra nuclear requeriría la utilización de técnicascientíficas de planificación. Con la aparición del ordenador esto se h

3 Prólogo Este libro se refiere al uso de modelos cuantitativos en la resolución de problemas de gestión y administración de sistemas complejos,con especial énfasis en la toma de decisiones.